Ovo je treći i poslednji deo članka školskog nadzornika L. P. Benezeta, u kojem on opisuje eksperiment iz aritmetike koji je sproveden u školama u Mančesteru u Nju Hempširu. Prva dva dela (iz novembra 1935. i decembra 1935) izazvala su mnoge povoljne komentare. Vilijam Makendru kaže da je to “moćno i dobro štivo, naučni članak koji nije nimalo dosadan kao što je to inače slučaj s takvom vrstom pisanja”.
Helen Ajvs Šermerhorn iz Nju Džersija, koja se posle dugogodišnjeg rada na obrazovanju odraslih vratila podučavanju mlađih srednjoškolaca, piše: “Bila sam zapanjena promenama koje su se desile, razvojem velikog broja novih aktivnosti koje, iako sve dobre same po sebi, previše opterećuju decu. Loš uspeh iz engleskog jezika ne može se opravdati; premalo vremena posvećuje se veštini ovladavanja jezikom. Nadam se da će se pod uticajem članka g. Benezeta desiti velike promene”.
U pismu g. Berča, nadzornika škola u Lorensu u Kanzasu, kaže se da su u prethodne dve godine škole u Lorensu menjale program iz aritmetike. G. Berč predlaže da se na sastancima zaposlenih u školstvu organizuju diskusije o Benezetovim člancima i mogućnostima primene njegovih metoda u lokalnim uslovima.
Da li i vaša škola na sličan način koristi te članke? Bilo bi zanimljivo da pozovete ugledne građane vaše zajednice na okrugli sto i pročitate im članke kako biste videli kakav je njihov stav.
Naravno, znao sam da me tek čeka najteži zadatak. Sada je konzervativnijim nastavnicima trebalo pokazati šta pokušavamo da uradimo i ubediti ih da je to moguće uraditi. Išao sam od odeljenja do odeljenja, iz dana u dan, testirao, pitao, davao primere.
Imali smo i posetioce. Došla su dva nadzornika iz Masačusetsa, nadzornik iz jednog velikog grada sa pet direktora škola i dva instruktora iz bostonske učiteljske škole. Videli su šta pokušavamo da uradimo i bili iznenađeni sposobnošću rasuđivanja i govora koju su pokazala deca čiji umovi nisu bili umrtvljeni dosadnim, jednoličnim bubanjem tablica i kombinacija. Ali bilo je i gunđanja po gradu. I nezadovoljstvo je konačno provalilo na jednom sastanku odbora. Predloženo je da se podnese zahtev za odbacivanje novog metoda učenja aritmetike i vraćanje na stari. Predlog je odbačen glasovima devet prema četiri, ali je imenovana komisija od tri člana koja je trebalo da pažljivo razmotri problem. Sa dva člana odbora i stenografkinjom posetio sam četiri škole u našem gradu i tri u gradu udaljenom nešto manje od trideset milja.
Najubedljiviji test bio je vezan za zadatak koji sam postavio u najmanje šest različitih odeljenja. Četiri su činila deca koja su učila aritmetiku na stari formalni način, a druga dva bile su grupe podučavane po novom metodu. Svi su bili učenici višeg petog razreda koje je za mesec dana čekao prelazak u 6-B razred.
Doslovno prenosim odgovore koje su dali učenici iz jednog tradicionalnog odeljenja i iz jedne eksperimentalne grupe. Nacrtao sam na tabli mali dijagram i rekao: “Ovo je drvena motka zabijena u blato na dnu jezerca. Iznad blata ima vode i deo motke štrči u vazduh. Jedna polovina motke je u blatu, ostatak od 2/3 je u vodi, a deo od jedne stope štrči u vazduh. Koliko je dugačka motka?”
Prvo dete: “Pomnožimo 1/2 sa 1/3 i na to dodamo jednu stopu.”
Drugo dete: “Saberemo jednu stopu i 2/3 i 1/2.”
Treće dete: “Saberemo 2/3 i 1/2 i onda dodamo jednu stopu.”
Četvrto: “Saberemo sve i vidimo koliko je motka dugačka.”
Sledeće dete: “Jedna stopa jednako je 1/3. Dve trećine podeljene na 6 jednako je 3 puta 2 jednako je šest. Šest i 4 jednako je deset. Deset i 3 jednako je 13 stopa.
Primetićete da nijedno dete nije shvatilo osnovnu stvar, da je 1/2 motke zariveno u blato, a druga polovina iznad blata i da je 1/3 te polovine jednaka jednoj stopi. Deca su se usredsredila samo na manipulaciju brojevima nadajući se da će nekako doći do pravog odgovora. Zatim sam pitao: “Da li neko zna na koji način možemo odrediti kolika je dužina motke?”
Sledeće dete: “Jedna stopa jednako je 3/3. Dve trećine i 1/2 pomnoženo sa 6.
Moje naredno pitanje bilo je: “Zašto množiš sa 6?”
Dete je nasumično odgovorilo: “Delim.”
Možda je u mom glasu osetilo izvestan naglasak na reči “množiš”. Onda sam dao nagoveštaj koji bi im, da su uopšte bili u stanju da rasuđuju, pokazao kako da reše zadatak. “Koliki je deo motke iznad blata?” upitao sam. Naravno, nadao sam se da će odgovoriti: “Pola.”
Prvo dete je odgovorilo: “Jedna stopa i 2/3.”
Pokazao sam sumnju, pa je drugo dete reklo: “Jedna stopa i 1/3.”
Zatim sam rekao: “Drukčije ću postaviti pitanje. Koliki deo motke je u blatu?”
“Dve trećine”, reklo je prvo dete.
“Jedna polovina”, reklo je drugo.
“Jedna polovina”, reklo je treće.
“Koliki je onda deo motke iznad blata?” upitao sam misleći da će sad odgovor biti jedna polovina.
“Dve trećine”, reklo je sledeće dete.
“Jedna stopa i 2/3”, reklo je sledeće.
“Jedna polovina je u blatu”, rekao sam. “Dakle, koliko je dugačka motka?”. Odgovori koje sam dobio glasili su: “Dve stope.” “Jednu stopu i pola stope.” “Pola stope.” “Jednu stopu.” “Jednu stopu.” “Jednu stopu.” I digao sam ruke.
Te nedelje postavio sam isti zadatak odeljenju petog razreda iz našeg grada koje je radilo po novom programu, to jest gde deca nisu formalno učila sabiranje, množenje i deljenje velikih brojeva, nego je naglasak bio na mentalnom radu i rasuđivanju. Ponovo sam nacrtao dijagram i rekao: “Ovo je jezerce s kamenitim dnom, blatom i vodom i sa motkom zabijenom u blato. Polovina motke je u blatu, ostatak od dve trećine motke je u vodi, a deo motke od jedne stope iznad vode. Koliko je dugačka motka? Kako ćete rešiti ovaj zadatak?”
Prvo dete: “Moraćemo da utvrdimo koliko stopa ima u blatu.”
“I šta još?” upitao sam.
Drugo dete: “Koliko je stopa u vodi i onda ih saberemo.”
“Kako ćeš da postupiš i dođeš do toga?” upitao sam treće dete.
“U jardu ima 3 stope. Jedan jard je u blatu. Jedan jard ima 36 inča. Ako je 2/3 preostalog dela u vodi, a jedna stopa u vazduhu (jedna stopa jednako je dvanaest inča), deo u vodi je kad sa dva pomnožiš deo u vazduhu i to onda mora biti 2 stope ili 24 inča. Ako su 3 stope iznad blata, a 3 stope u blatu, to znači da je motka dugačka 6 stopa ili 72 inča. Sedamdeset dva inča jednako je 2 jarda.”
Iznenadilo me je što ta devojčica sve mere pretvara u inče. U stvari, za nju je zadatak bio toliko jednostavan i tako lako rešiv da nije mogla da veruje da treba samo da kaže da je motka dugačka 6 stopa. Morala je da ih pretvori u 72 inča i u dva jarda da bi zadatak učinila dovoljno teškim i tako opravdala to što sam ga postavio.
Sledeće dete je nastavilo: “Jedna polovina motke je u blatu, a jedna polovina mora biti iznad blata. Ako su 2/3 u vodi, onda je 2/3 i jedna stopa jednako 3 stope, plus 3 stope u blatu jednako je 6 stopa.”
Toj deci, koja su naučila da koriste glavu umesto olovke, zadatak se činio veoma jednostavnim.
Komisija je podnela izveštaj odboru i odbor ga je prihvatio i ocenio da je nadzornik na pravom putu. Da bi umirio negodovanje nekih roditelja, samo je predložio da učenje tablica počne malo ranije.
Razvoj sposobnosti rasuđivanja jedan je od važnih rezultata novog programa učenja aritmetike. Kad sam nedavno čuo da se majka deteta iz 5-B odeljenja žalila zbog takvog načina učenja aritmetike, posetio sam to odeljenje zajedno s direktorom i pokušao da utvrdim šta deca umeju ili ne umeju da urade. Dao sam im nekoliko zadataka kako bih proverio njihovu sposobnost za mentalnu aritmetiku i iznenadio se tačnošću odgovora i brzinom kojom su ih davala.
Onda sam im dao zadatak koji zahtevao pomalo rasuđivanja. Nacrtao sam dve slavine i kofu ispod njih. Rekao sam da svaka slavina pojedinačno može da napuni kofu za dva minuta i pitao ih koliko vremena treba da se ona napuni ako iz obe istovremeno teče voda. Uveren da će mi deca reći četiri minuta, bio sam veoma zadovoljan kad mi je tri četvrtine razreda odgovorilo da je potreban jedan minut. Zatim sam izmenio zadatak i rekao da ću jednu slavinu zameniti manjom, koja može da napuni kofu za četiri minuta. Pitao sam koliko je vremena potrebno da se kofa napuni ako iz obe slavine istovremeno teče voda. Nekolicina dece je rekla tri minuta, ali su se nagađanja velike većine kretala između jednog i dva minuta, a omiljeni odgovor je bio minut i po. Zatim sam pitao koliki deo kofe će biti pun posle jednog minuta i deca su bez ikakvih teškoća odgovorila da će se napuniti tri četvrtine kofe.
Moje sledeće pitanje je glasilo: “Koliko je tačno vremena potrebno da se napuni kofa?” Prvo dete koje sam prozvao dalo mi je tačan odgovor – jedan minut i dvadeset sekundi. Direktor je bio zadivljen i zamolio me je da isti zadatak postavim osmom razredu. Učinio sam to. Ta deca, podučavana po starom metodu formalne aritmetike, nisu se ni približno dobro pokazala kao njihova mlađa braća i sestre.
U nekoliko delova grada dao sam test koji je obuhvatao pet jednostavnih zadataka. Evo ga:
1. Dva dečaka istovremeno startuju u trci od Mančestera do Vest Konkorda, udaljenog 20 milja. Jedan prevaljuje 4 milje na sat, a drugi 5 milja na sat. Koliko vremena je potrebno da obojica stignu u Vest Konkord?
2. Muškarac može da vesla 4 milje na sat u mirnoj vodi. Koliko dugo će veslati od Hila do Konkorda (međusobno udaljenih 24 milje u jednom pravcu) i natrag ako reka teče na jug brzinom od 2 milje na sat?
3. Isti muškarac opet vesla od Hila do Konkorda, ali to radi u proleće, kad je voda visoka, a struja dvaput brža nego ranije. Koliko mu treba da stigne do Konkorda i vrati se?
4. Remus može da pojede celu lubenicu za 10 minuta. Rastus za 12. Oni se međusobno takmiče tako što svaki dobija po pola lubenice. Koliko je vremena potrebno da cela lubenica bude pojedena?
5. Razdaljina između Bostona i Portlanda vodenim putem iznosi 120 milja. Tri parobroda istovremeno kreću iz Bostona za Portland. Jedan putuje 10 sati, drugi 12, a treći 15. Koliko vremena je potrebno da sva 3 stignu u Portland?
Čini se da su zadaci dosta laki, ali savetujem vam da ih postavite deci. Siguran sam da đaci iz starijih razreda srednje škole, iako se pripremaju za ispit iz matematike koji treba da im omogući upis na koledž, neće dostići prosek od 70%. Dobio sam prilično apsurdne rezultate. Sledećeg dana zadao sam četvrti i peti zadatak drugom razredu i dobio skoro savršene rezultate; za razliku od toga u devetom razredu, koji je učio po starom programu iz aritmetike, pokazano znanje bilo je žalosno. Od dvadeset devet učenika u razredu samo šest je tačno rešilo peti zadatak.
Rezultati našeg novog programa već su bili očigledni. Upravnik Odseka za engleski jezik u našoj Centralnoj gimnaziji (čiji je kapacitet 2.450 učenika) rekao mi je da se đaci, koji su se u školu upisali 1. februara 1935, iznenađujuće tečno izražavaju na časovima engleskog i da su vični maternjem jeziku. Nedostatak samopouzdanja je nestao. Deca više nemaju svezane jezike i sposobna su da rečima izraze nove ideje.
Nisam iznenađen. Očekivao sam takav izveštaj. Setite se kako su užasan engleski jezik govorili u odeljenjima osmog razreda, što sam doslovno zapisao i naveo u prvom članku. Pet godina kasnije ušao sam u istu učionicu. Isti nastavnik je bio starešina, a neka deca bila su mlađa braća i sestre đaka iz prethodne grupe, ali se metod rada radikalno promenio. Sa stenografski zapisanim nekadašnjim odgovorima u ruci, postavio sam toj novoj grupi ista pitanja koja sam pet godina ranije postavio njihovoj starijoj braći i sestrama. Evo nekih od tih odgovora.
“Kad brojitelji bilo kojeg od dva razlomka ostanu isti, razlomak s manjim imeniteljem je najveći.”
“Dokazali smo princip da kad je imenitelj manji – ne, kad je imenitelj veći, razlomak je manji.”
“Kad je imenitelj veći, razlomak će biti manji ako je brojitelj isti.”
“Kad je brojitelj manji, razlomak je manji ako je imenitelj isti.”
“Kad je imenitelj veći, razlomak će biti manji, pod uslovom da brojitelj ostane isti.”
“Kad je imenitelj veći, pod uslovom da brojitelj ostane isti, razlomak postane manji.”
Zatim sam sproveo eksperiment za koji mislim da je najubedljiviji od svih. Pročitao sam tipične odgovora date pet godina ranije u istoj učionici (naravno, nisam rekao da je to bila ista učionica), i sadašnji osmaci prštali su od smeha dok su prepoznavali greške u rasuđivanju i izboru reči svojih prethodnika. To je za mene bio znak koji me je najviše ohrabrio i pokazao mi šta možemo da očekujemo kada sadašnji osmi razred pređe u više razrede srednje škole.
Treći deo teksta koji uskoro izlazi u novom broju časopisa REČ Fabrike knjiga.
Journal of the National Education Association, Volume 25, Number 1, January 1936, pp. 7-8
S engleskog prevela Slobodanka Glišić
Peščanik.net, 31.01.2016.
Srodni linkovi:
L. P. Benezet – Kako učiti matematiku (1)
L. P. Benezet – Kako učiti matematiku (2)
RAZGOVOR O OBRAZOVANJU