Fotografije čitateljki, Slavica Miletić

Fotografije čitateljki, Slavica Miletić

Ovo je drugi deo teksta o poznatom eksperimentu koji je autor kao školski nadzornik daleke 1929. sproveo u američkom gradu Mančesteru u Nju Hempširu. U prvom delu teksta g. Benezet opisuje svoj eksperiment: u nekim školama deca su u prvih šest razreda aritmetiku učila samo kroz praksu, tako što su procenjivala visine, površine i slično; formalna aritmetika nije im bila uvođena do sedmog razreda. Uporedni testovi su pokazali da su deca iz eksperimentalnih odeljenja tokom samo jedne školske godine dostizala nivo znanja iz aritmetike za koji je tradicionalno podučavanoj deci bilo potrebno tri i po godine. Pored toga, budući da su nastavnici u eksperimentalnim grupama decu obučavali umeću “čitanja, rasuđivanja i prepričavanja”, ova deca su više čitala, imala su bogatiji rečnik i tečnije su se izražavala.

U jesen 1933. godine sam bio spreman za veliki skok. Znao sam da svoj stav mogu da branim dokazima koji će zadovoljiti svaku razumnu osobu. U skladu sa tim, odbor naših nadzornika dao je nacrt novog načina izučavanja aritmetike. Želeo sam da do kraja nastavimo istim putem, jer smo na primeru četiri odeljenja dokazali da se to može uraditi bez ikakve štete, ali drugi nadzornici su bili oprezniji od mene, pa sam i sam shvatio da nemam dovoljno snage da se nosim sa duboko uvreženim predrasudama naših obrazovanih građana. Zato je napravljen kompromis i mi smo 1. septembra 1933. predložili da se aritmetika uči na sledeći način:

I razred – Nema formalnih predavanja iz aritmetike. Da bi mogla da koriste udžbenike, a i u skladu sa potrebama koje se javljaju, deca uče da prepoznaju i čitaju brojeve do 100. Uputstva o tome ne daju se u nekom određenom periodu ili u neko određeno vreme, nego nailaze spontano, u zavisnosti od zadataka postavljenih na časovima čitanja ili kad je potrebno pozvati se na određene stranice teksta.

U međuvremenu, deca stiču osnovnu ideju o poređenju i procenjivanju, i to tako [sic] što počinju da shvataju oprečne reči kao što su: više/manje, mnogo/malo, više/niže, duže/kraće, ranije/kasnije, uže/šire, manje/veće itd.

Čim postane izvodljivo, deca uče da prate datume na kalendaru. Beleže praznike i rođendane, kako školskih tako i vanškolskih drugova i svojih rođaka.

II razred – Nema formalnih predavanja iz aritmetike.

Nastavlja se upotreba poređenja na isti način na koji je to rađeno u prvom razredu.

Deca počinju da određuju vreme. Uče da prepoznaju sate i polusate.

Nastavlja se i prepoznavanje brojeva stranica. Deca uče da prepoznaju svaki broj na koji prirodno naiđu u knjigama korišćenim u drugom razredu. Ako neka knjiga koja se koristi u tom razredu ima indeks, deca uče šta on znači i kako da nađu stranice naznačene u njemu. Deca će prirodno naučiti da broje tokom igara koje igraju. Takođe će lako i bez formalnih predavanja shvatiti šta znači “polovina”, “dvostruko”, “dva puta” ili “tri puta”. Ako značenja tih reči ne shvate prirodno i uzgredno, učitelj neće posvetiti nijedno formalno predavanje njihovom objašnjavanju.

Već stečenom znaju o danima u mesecu dodajemo i imena dana u nedelji i meseci u godini.

Učitelj se obaveštava da li u svom životu izvan škole deca dolaze u dodir s novcem. Ako dolaze, uči ih značenju reči “cent”, “petoparac”, “desetoparac” i “dolar”. Na isti način, i samo uzgredno, može ih naučiti i značenju reči “pinta” i “kvarta”.

III razred – Formalnih predavanja iz aritmetike nema, ali kad deca prilikom čitanja naiđu na brojeve, učitelj im objašnjava njihovu vrednost.

Pre nego što se školska godina završi, deca će naučiti da je “desetoparac” vredan 10 centi, “dolar” 10 desetoparaca ili 100 centi, “pola dolara” 5 desetoparaca ili 50 centi itd. Naučiće da 4 četvrtine dolara ili 2 polovine dolara vrede koliko jedan dolar.

Svoju već postojeću sposobnost da prepoznaju sate i polusate dopuniće umećem da u svakom trenutku kažu koliko je sati. Prva uputstva ne obuhvataju oblike kao što su 10 minuta do 4 ili 25 minuta do 3. Najpre uče da kažu 3 sata i 50 minuta, 2 sata i 35 minuta itd. U vezi s tim uče i da jedan sat ima 60 minuta.

Vreme je i da nauče da nedelja ima 7 dana, a dan 24 sata. Takođe uče da godina ima 12 meseci, a mesec oko 30 dana.

Uputstva vezana za brojanje usklađena su sa sve većim obimom korišćenih udžbenika i stranica na koje je potrebno da deca budu upućena. Brojeve prepoznaju kroz igru. U tome im mogu pomoći i brojevi registarskih tablica. Na primer, učitelj im usmeno saopšti broj kola (sa najviše četiri cifre) sa školskog parkinga, a onda traži da oni identifikuju ta kola. Deca se podstiču da kažu brojeve svojih kuća, automobilskih tablica i telefona i pozovu razred da ih prepoznaju.

Nastavlja se korišćenje poređenja, naročito onih u kojima postoje odnosi između “pola”, “dvostruko”, “tri puta” i slično.

IV razred – Još nema formalnih predavanja iz aritmetike.

Uz pomoć lenjira od jedne stope i štapa od jednog jarda deca uče šta su inč, stopa i jard. Često im se zadaje da u praksi procenjuju dužinu raznih predmeta u inčima, stopama i jardima. Na primer: svaki učenik treba na papiru da napiše kolika je, po njegovoj proceni, visina nekog drugog deteta ili širina prozora ili dužina učionice, a onda se te procene proveravaju pravim merenjem.

Deca uče da očitavaju termometar i objašnjava im se šta znače 32 stepena, 98,6 stepeni i 212 stepeni.

Upoznaju termine “kvadratni inč”, “kvadratna stopa” i “kvadratni jard” kao jedinice za merenje površine.

Deca počinju da u praksi pomalo razmenjuju tobožnji novac (ili pravi ako je dostupan), isključivo u apoenima od po pet centi. Sav taj rad obavlja se mentalno. Svaki problem vezan za razmenu novca koji ne mogu da reše ako ne ispišu brojke na papiru ili tabli suviše je težak i odlaže se za stariji uzrast.

Do kraja godine deca će često procenjivati površine, razdaljine itd. i zatim merenjem proveravati te procene. Deca uče termine “pola milje”, “četvrt milje” i “milja” i upoređivanjem razdaljina ili njihovim merenjem pomoću automobilskog brzinometra stiču ideju o tome kolike su te razdaljine.

Pred kraj godine deca uče da raspoznaju vremenske intervale – sekunde, minute i dane. Uče i kakav je odnos između funti i unci.

V-B razred – Ni sada nema formalnih predavanja iz aritmetike, ali se od dece traži da broje po 5, 10, 2, 4 i 3. U početku to rade mentalno, bez brojki napisanih na papiru ili tabli. To prirodno vodi do tablica množenja sa 5, 10, 2, 4 i 3 koje im se tim redom zadaju pre kraja polugodišta.

Deca u praksi razmenjuju tobožnji novac, ili pravi ako je dostupan, do visine od jednog dolara, ali ovog puta koriste i cente.

Nastavlja se neformalni rad iz prethodnih razreda na procenjivanju razdaljina, površina, vremena, težina, zapremina i sličnog. Razvija se sposobnost pogađanja ili procenjivanja kroz igru. Svako dete u razredu zapisuje svoju procenu, a zatim se ona proverava merenjem.

Deca upoređuju vrednost razlomaka i sama uočavaju da je 1/3 manja od 1/2, a veća od 1/4 itd., da je razlomak manji ako je imenitelj veći. To se ilustruje konkretno ili putem slika.

Pred kraj polugodišta deca dobijaju udžbenik Praktični zadaci iz mentalne aritmetike za IV razred. Rešenja tih zadataka podrazumevaju poznavanje denominacije, koju deca nisu učila, i upotrebu tablica i kombinacija, što takođe još nisu učila. Ipak, deca će, zahvaljujući svom prirodnom osećaju za brojeve, biti u stanju da daju tačne odgovore. Nastavnik neće putem formula i tablica posebno objašnjavati rešenje nekog zadatka onima koji ga brzo i prirodno ne shvate. Svrha udžbenika posvećenog mentalnoj aritmetici jeste da stimuliše brzo razmišljanje i odvrati decu od zastarelog metoda korišćenja prstiju kao pomoći prilikom obavljanja posla u glavi. Ako neka deca ne razumeju zadatke brzo i lako, nastavnik će jednostavno preći preko toga jer zna da će im se moć rasuđivanja verovatno razviti u narednih godinu-dve dana. Važno je da deca ne steknu ideju da se neki nepromenljiv metod ili formula može koristiti kao zamena za razmišljanje. Rešavanje zadataka navedenih pod rubrikama Septembar, Oktobar i Novembar završava se krajem polugodišta.

V-A razred – Od dece se traži da broje po 6, 7, 8 i 9. To rade mentalno, bez tablica napisanih bilo na papiru bilo na tabli. Posle izvesnog vremena to ih prirodno dovodi do tablica množenja sa 6, 7, 8 i 9. Deci se skreće pažnja na činjenicu da je na tablici množenja sa 9 druga cifra uvek manja od prethodne druge cifre za jedan (18, 27, 36 itd.) i objašnjava im se da je to zato što je sabiranje po 9 isto kao kad bismo 9 sabrali i 10 pa oduzeli 1, i tako redom. Na sličan način im se pokazuje da je sabiranje po 8 isto što i sabiranje po 10 minus 2, pa je druga cifra u svakom sledećem rezultatu za 2 manja od druge cifre rezultata dobijenog sabiranjem po 10 (48, 56, 64). Na sličan način im se pokazuje da je sabiranje po 7 isto kao sabiranje po 10 minus 3. Pošto nauče tablice, nastavnik proverava da li umeju da izračunaju rezultate bilo kojim redom, to jest da li im nije neophodno da krenu od početka tablice i prelaze je dok ne dođu do traženog rezultata. Deca uče da je 2 puta 3 uvek jednako 3 puta 2.

Deca pomalo dobijaju ideju o relativnoj vrednosti razlomaka 1/2, 1/4, 1/5 i 1/10. U tome im pomažu konkretni primeri; recimo, kad dete zapamti da su dva novčića od četvrt dolara jednaka polovini dolara, lako je pokazati mu da je dva puta 1/4 jednako 1/2, ili dva puta 1/10 jednako 1/5.

Zadaci iz udžbenika Praktični zadaci iz mentalne aritmetike navedeni pod rubrikama od Decembra do Juna zaključno rešavaju se tokom polugodišta. Ako deca ne shvate zadatak brzo i lako, nastavnik se ne zadržava na njemu da im bi objasnio metod i preporučio neku formulu za njegovo rešavanje. Naravno, pošto se u zadacima javljaju i novi termini (četvrt bušela, galon itd.), nastavnik uzgred objašnjava njihovo značenje.

VI-B razred (20-25 minuta dnevno) – U ovom razredu počinju formalna predavanja iz aritmetike. Kao osnova koristi se prvih 108 strana III knjige Strejerove i Aptonove Aritmetike.

Uče se procesi sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja. Nastavnik nastoji da izbegne čisto mehaničko učenje. Deca treba da razumeju zašto se koriste ti procesi. To naročito važi za oduzimanje. Izbegavaju se zadaci s dugačkim brojevima koji bi ih zbunili. Od početka se insistira na tačnosti, a ne na brzini ili opširnosti i, kad je to moguće, procesi se odvijaju mentalnim putem, a ne pisanim. Pre nego što se otpočne rešavanje zadatka vezanog za bilo koji od četiri osnovna procesa, od dece se traži da procene ili pogode kakav će biti odgovor, a zatim se upoređuje konačni rezultat sa predviđenim. Nastavnik pazi da se učenje aritmetike ne izopači u mehaničku manipulaciju lišenu razmišljanja.

U ovom razredu uče se razlomci i celi brojevi s razlomcima. Opet se vodi računa o tome da se deci ne daju zadaci koji su teško razumljivi i komplikovani.

VI-A razred (25 minuta dnevno) – Rad u ovom razredu temelji se na drugom poglavlju (str. 109-182) III i prvih 50 strana IV knjige Strejerove i Aptonove Aritmetike.

Ponovo se prelaze dotad naučene tablice množenja i tablice mernih brojeva. Nastavnik ima na umu da su glavni ciljevi rasuđivanje i procenjivanje, a ne samo lagodna manipulacija brojevima.

Kao i u prethodnom razredu, pre nego što počnu da rešavaju neki zadatak, deca (pojedinačno) procenjuju kakav bi odgovor trebalo da bude i proveravaju da li se konačni rezultat slaže s tom procenom.

VII-B razred (25 minuta dnevno) – Rešavaju se zadaci iz poslednjeg dela IV knjige Strejerove i Aptonove Aritmetike, počevši od 51. stranice.

Ponovo se prelaze tablice mernih brojeva, uključujući i merne jedinice američkog novca koje se nalaze u poslednjem delu IV knjige. Pored date tablice dužinskih mera, deca uče i da milja ima 1760 jardi, pola milje 880 jardi, četvrt milje 440 jardi itd.

Nastavnik izostavlja zadatke iz knjige ako oni, zbog dužine sadržanih brojeva, navode decu da prilikom upotrebe četiri osnovna procesa zanemare proces rasuđivanja, koji je, na kraju krajeva, glavna svrha zadataka.

Velika pažnja posvećuje se mentalnoj aritmetici pa se, između ostalog, od dece traži da rešavaju zadatke bez pomoći brojeva napisanih na papiru ili tabli. To je daleko važnije od tačne primene četiri osnovna procesa.

VII-A razred (30 minuta dnevno) – Rešavaju se zadaci sa prvih sto stranica V knjige Strejerove i Aptonove Aritmetike, s tim što se izostavljaju sledeće stranice: 1-10, 28, 71-77. Kad god je moguće, rad se obavlja mentalno.

Većina stranica koje se izostavljaju u ovom razredu ponovo se javljaju u VI knjizi.

Nastavlja se praksa procenjivanja verovatnog odgovora i provere da li se rezultat slaže s procenom.

Nastavnik opet vodi računa o tome da je sposobnost ispravnog razmišljanja o zadatku daleko važnija od nepogrešive primene četiri osnovne računske operacije.

VIII-B razred (30 minuta dnevno) – Rešavaju se zadaci iz drugog dela V knjige Strejerove i Aptonove Aritmetike, počevši od 101. stranice (izostavljaju se stranice 127-134), a koriste se i prve 32 stranice VI knjige.

Nastavlja se praksa preliminarnog procenjivanja i davanja približnog odgovora pre nego što se pristupi rešavanju zadatka. Sposobnost da se približno i spremno pogađa odgovor biće jedan od najvažnijih ciljeva koje treba postići u učenju aritmetike.

Deca obnavljaju znanje tablica mernih brojeva. Stalno se primenjuje praksa procenjivanja dužine, visine i površine poznatih predmeta i proveravanja tih procena stvarnim merenjem.

VIII-A razred (30 minuta dnevno) – Udžbenik za ovaj razred je VI knjiga Strejerove i Aptonove Aritmetike, počevši od 35. stranice, s tim što se izostavljaju sledeće stranice: 36, 46-48, 57-59, 80-82, 92-93, 104, 158-188, 194, 203-204, 206-208.

Neophodno je da se u ovom razredu sažme sve što je naučeno iz aritmetike, ali razvijanje sposobnosti da se unapred približno odredi i proceni verovatni rezultat ostaje i dalje je važan cilj.

Deci se objašnjavaju razlozi za primenu raznih procesa; na primer, zašto se prilikom deljenja razlomaka tačan odgovor dobija obrtanjem delitelja i množenjem itd. Sposobnost inteligentnog tumačenja zadatka i objašnjavanja kako ga treba rešavati daleko je važnija nego sposobnost sabiranja dugačkih kolona brojeva bez greške.

Nastavnik će imati na umu da će neki učenici teško razumeti veliki deo postupaka vezanih za geometrijska merenja (od 80. do 100. strane zaključno). Naravno, u tim postupcima zaista se koriste geometrijske formule, ali se ne objašnjavaju geometrijski razlozi za njihovo funkcionisanje, i neka deca neće biti u stanju da shvate smisao svega toga. Zato je dobro imati modele u učionici i izvoditi eksperimente kao što je punjenje cilindra vodom čija je količina tri puta veća od sadržine kupe s jednakom bazom i visinom itd.

Opet se najveći dao rada odvija mentalno. Zadaci se biraju tako da ilustruju principe i daju priliku za praktično rasuđivanje više nego za praktičnu manipulaciju velikim brojkama ili komplikovanim razlomcima.

Drugi deo teksta koji uskoro izlazi u novom broju časopisa REČ Fabrike knjiga.

Journal of the National Education Association, Volume 24, Number 9, December 1935, pp. 301-303

S engleskog prevela Slobodanka Glišić

Peščanik.net, 22.01.2016.

Srodni linkovi:

L. P. Benezet – Kako učiti matematiku (1)

L. P. Benezet – Kako učiti matematiku (3)

TEMA – RAZGOVOR O OBRAZOVANJU